。
I wonder what it feels like to be sick.
Literal
Sick-person [copula-である] thing [topic-は] what-kind-of feeling [copula-だろうか].
どういう感じだろうか combines the question phrase どういう感じ ('what kind of feeling') with the conjectural だろうか ('I wonder'). 病人であること nominalizes 'being a sick person.' An introspective, empathetic question.